Schrijven met dunne plakjes

De stelling van Pythagoras in een miljoen-dimensionale ruimte

Alfred T. PalmerHeet staal stroomt als water uit de oven. Leidse wetenschappers willen leren wat er precies gebeurt tijdens het maken van staal.

door Bart Braun

De Leidse hoogleraar tomografie Joost Batenburg werkt aan wiskunde die driedimensionale beelden kan maken uit metingen.

Als uw dokter denkt dat er iets mankeert aan uw longen, stuurt hij u naar het ziekenhuis. Een van de opties om tot een diagnose te komen, is een zogeheten CT-scan. U komt dan op een verschuifbare tafel te liggen, met uw bovenlichaam in een ring. In die ring schuift een ‘kop’ rond die röntgenstraling uitzendt, en daarmee maakt de radioloog een heleboel röntgenfoto’s. Vervolgens schuift de tafel een stukje op, en komt er weer een reeks foto’s. Zo gaat u langzaam door het apparaat heen, als een ham langs de vleeswarensnijder in de supermarkt. Daarna plakt de computer alle foto’s aan elkaar tot één plakje, en de plakjes tot een 3D-beeld. De C van CT-scan staat daarom voor Computerized, de T voor ‘tomografie’: ‘schrijven met dunne plakjes’.

Tomografie kan je ook bedrijven met andere media dan röntgenstraling, en op andere dingen dan alleen patiënten. De Leidse hoogleraar tomografie Joost Batenburg probeert zijn vakgebied zo breed mogelijk te houden.

‘Van dataverwerving en de algoritmen om daar 3D-beelden uit te halen, tot methodes om analyses te doen van die beelden. Behalve wiskunde komt er dus ook fysica en informatica bij kijken.’

Als dat allemaal lukt, is dat weer bruikbaar voor ogenschijnlijk uiteenlopende vakgebieden als materiaalkunde en biologie. Batenburg somt wat toepassingen op: ‘Het meten van computerchips, of er fouten in zitten. Analyse van botbreuken. Materiaalcontrole in zonnecellen.’ Zelf is hij steeds meer geïnteresseerd in metingen aan veranderende objecten.

Neem bijvoorbeeld staal. Staal wordt gemaakt met behulp van een recept: je laat ijzer smelten, en vervolgens volgt er een stappenplan waarin er extra ingrediënten bijgaan en de boel volgens plan wordt verhit en afgekoeld.

‘Zo’n stappenplan is via trial and error tot stand gekomen, wat er precies gebeurt, is nog heel obscuur. Wij onderzoeken nu hoe dat staal-in-wording er van binnen uitziet. In filmpjes leggen we vast wat er tijdens het koelen en verwarmen gebeurt. Je doet de experimenten in je meetapparaat, terwijl je aan het scannen bent. Als je snapt hoe dat staal precies vormt, kun je die kennis gebruiken om betere staalsoorten te ontwikkelen.’
De jonge hoogleraar Batenburg – 33, zijn oratie was vorige maand – is ook leider van een Europees netwerk dat onder meer doorsnede-filmpjes maakt van levende cellen.

‘De straling waar je mee kijkt, is schadelijk voor de cellen, dus de truc is om met weinig data mooie beelden te krijgen. De rode draad van al mijn onderzoek is het samenkomen van experimentele wetenschappers, en computational science. Mensen zoals ik, die aan de algoritmes rekenen, werken direct samen met de mensen die de apparatuur hebben.

‘Alle standaardmethoden uit de wiskunde werken niet meer als je naar veranderde objecten kijkt. Dus willen we nieuwe algoritmes ontwikkelen die daar wel geschikt voor zijn. De basis van die algoritmes ligt in de lineaire vergelijkingen: sommetjes als y = ax +b die je in de brugklas moest doen. Tomografie kun je opschrijven als een stelsel van zo’n honderd miljoen van zulke vergelijkingen, met een miljard onbekenden.’

Dat is veel te veel om nog één voor één uit te kunnen rekenen. Zelfs supercomputers kunnen er nauwelijks mee overweg. Dat is eenvoudig om in te zien: honderd miljoen vergelijkingen met een miljard onbekenden levert een matrix op met honderd miljoen maal een miljard punten. Een 1 met zeventien nullen erachter. Als elk puntje één byte in beslag zou nemen – doet het niet, maar stel – dan heb je dus 1017 bytes nodig. Honderd miljoen gigabytes. De allergrootse supercomputers van dit moment hebben ongeveer een duizendste van die capaciteit; een iPhone 5 doet het met één gigabyte.

Batenburg: ‘In plaats te proberen zo’n enorme hoeveelheid gegevens in één keer op te slaan in het geheugen van de computer, simuleren we het tomografie-proces, de fysica van het scannen zelf. Van de bron naar de detector lopen allerlei lijntjes, en het computerprogramma loopt die stuk voor stuk af. Dat lijkt heel erg op wat een grafische kaart doet bij een computerspel, vandaar dat we onze eigen draagbare supercomputers maakten door meerdere grafische kaarten aan elkaar te koppelen. Die van ons kostte vijfduizend euro, en rekent een “echte” supercomputer van twee miljoen eruit.’

De grafische kaart is tegenwoordig het krachtigste en duurste onderdeel van de meeste computers. Gamers gebruiken die capaciteit om hun spellen er zo goed mogelijk uit te laten zien. Steeds vaker zetten wetenschappers ze in voor hun berekeningen. Het vermogen om razendsnel de pixels op je beeldscherm te laten bewegen, kan een sterrenkundige ook inzetten om de bewegingen van sterrenstelsels te simuleren. Een wiskundige kan er tomografische berekeningen mee doen.

‘Je moet wel net het geluk hebben dat jouw berekening past, maar als dat zo is, werkt GPU-computing ook verschrikkelijk snel. De wiskunde die eronder zit is heel herkenbaar. De stelling van Pythagoras en de abc-formule kom je gewoon tegen, maar dan in een miljoen-dimensionale ruimte’, aldus de hoogleraar.
In een recent artikel in Discrete Applied Mathematics legt hij uit welke uitspraken je kunt doen over het object in de scanner, als je de simulatie-aanpak gebruikt.

‘Je hebt altijd te weinig metingen, dus is het risico van een meetfout altijd aanwezig. Met dit soort hoogdimensionale meetkunde kun je gelukkig wel een uitspraak doen over hoe groot die fout is.’

Deel dit bericht:

Voorpagina

Achtergrond

Een paradijs voor dwazen

In het Engelse plaatsje Totnes runt de zogeheten Transition-beweging een lokale, duurzame …

Wetenschap

Gods opvolging

Toen geneesheer Herman Boerhaave stierf in 1738, begon de strijd om zijn nalatenschap. …

Studentenleven

English page