De wandeling van de willekeur

Wiskundigen onderzoeken de grenzen van het toeval

De presentator gooit een munt op om te bepalen wie mag beginnen in het televisiedebat voor de Democratische presidentskandidaatverkiezingen, in 1960. De latere president John F. Kennedy (rechts) won het toen van de latere vicepresident Hubert Humphrey. Foto Corbis

Door Bart Braun

Leidse en Braziliaanse wiskundigen lieten hun statistische arsenaal los op de wiskunde van de willekeur. Dit is ook voor biologen en chemici interessant. ‘Er is geen wet die de spaghetti op je bord verbiedt om parallel te gaan liggen.’

met willekeur. Als je met een muntje drie keer achter elkaar kop gegooid hebt, wat is dan de kans op nog een keer kop? Ergens in het achterhoofd spookt de wiskundeleraar nog, die geduldig aan de pubertjes uitlegde dat, nee, een stukje metaal geen geheugen heeft, en ook niet meer zin om dit keer op munt te eindigen, maar in werkelijkheid weten we wel beter. Natuurlijk wordt het de vierde keer munt.
Niet dus. De menselijke intuïtie is fundamenteel ongeschikt voor de omgang met willekeur. Ons onbegrip zorgt ervoor dat casino's, loterijen en slimme oplichters rijk worden, en dat zelfs de meest empathische psychologiestudentjes statistieklessen voor de kiezen krijgen. Elk beetje grip op de chaos is mooi meegenomen.
De uitkomst van een paar keer muntjeswerpen, kop-kop-kop-kop-munt-kop enzovoort, is een heel eenvoudige versie van wat wiskundigen een toevalsbeweging of random walk noemen. Je kan je ook een tweedimensionale versie voorstellen: een punt dat willekeurig naar links, rechts, boven of omlaag beweegt door een vlak, als Pacman met een kapotte joystick.
Bij een driedimensionale random walk gaat iets niet door een vlak, maar door een ruimte. Diverse mensen hadden het verschijnsel al beschreven toen de Schotse wetenschapper Robert Brown er experimenteel mee aan de slag ging. Brown was in zijn tijd een botanicus van formaat; hij had meer dan duizend Australische plantensoorten beschreven, en het onderscheid tussen naakt- en bedektzadige planten gemaakt dat biologen nog steeds hanteren. Het is daarom ironisch dat hij nu vooral wordt onthouden vanwege zijn bijdrage aan de natuurkunde, terwijl hij daar eigenlijk geen bal van begreep.
Stuifmeelkorrels in water, zo zag Brown in 1827, bewegen chaotisch alle kanten op. Zat er iets in de korreltjes waardoor ze gingen zwemmen? Nee, want diverse poeders bewogen ook zo. Komt het dan doordat het water aan het verdampen is? Nee, want als je het water afdekt met een olielaagje perk je wel de verdamping in, maar niet de bewegingen van de korrels. Het ongecontroleerde gekrioel kreeg de naam Brownian motion, al wist Brown niet wat ervoor verantwoordelijk was. Daar was een slimmer iemand voor nodig.
Die kwam er: in 1905 beschreef Albert Einstein himself hoe de Brownse beweging verklaard kan worden door miljarden watermoleculen die tegen de korreltjes aanbotsen. Dankzij Einsteins wiskunde konden chemici zelfs bepalen hoeveel van die moleculen er waren, en werd het een stuk aannemelijker dat die moleculen überhaupt bestonden – iets waar de wetenschap in 1905 nog niet helemaal van overtuigd was.
De nieuwe, met wiskunde opgevoerde versie van de random walk verspreidde zich over tal van wetenschappen. Materiaalwetenschappers modelleren ermee hoe er scheurtjes in hun spullen ontstaan, epidemiologen gebruiken het idee om te begrijpen hoe ziektes zich verspreiden, oceanografen rekenen aan veranderende zoutconcentraties, enzovoort.
Ook de Leidse wiskundige Frank den Hollander werkt aan de toevalswandelingen. De hoogleraar is onder meer geïnteresseerd in polymeren: lange moleculen die bestaan uit kleinere onderdeeltjes, als een kralenketting. Een polymeer kan, net als Browns pollenkorreltjes, kriskras stuiteren door de ruimte waar het inzit. Maar daarnaast kan de ketting op allerlei verschillende manieren kronkelen. Wiskundig gezien is het geen random walk in drie dimensies, maar in honderden. 'Ik kan me dat goed voorstellen, een ruimte van alle vormen', aldus Den Hollander.
'DNA is een voorbeeld van zo'n lang molecuul. In elke cel van je lichaam zit een paar meter DNA, dat superstrak is opgerold in een soort koptelefoontjes. Om gebruikt te kunnen worden, moet het echter ook weer los: dat wordt een enorme ratjetoe. Als je een beter begrip hebt van hoe zo'n molecuul zich in de ruimte beweegt, dan snap ik beter hoe cellen werken.'
Die polymeren maken de wiskunde van random walks nog moeilijker: als een keten eenmaal in de knoop zit zijn bepaalde vormen niet meer mogelijk. En als het polymeer in een levende cel zit, zit daar ook allerlei ander spul, dat plekken in de ruimte bezet houdt, zelf ook beweegt en, nog ingewikkelder, de vorm van het polymeer kan beïnvloeden. Samen met zijn promovendus Renato dos Santos en een Braziliaanse collega schreef Den Hollander een uitgebreid artikel over zulke toevalswandelingen in een dynamische omgeving, in het vakblad Stochastic processes and their applications.
'Als je daar uitspraken over wilt doen, heb je de beschikking over het arsenaal van de waarschijnlijkheidsleer', vat de hoogleraar het stuk samen.
'Wiskunde gaat altijd over structuren en relaties tussen objecten. Het deeltje maakt een toevalswandeling, maar je kan wel allerlei vragen stellen en beantwoorden. Je kan bijvoorbeeld een horizon trekken waar hij niet buiten is gekomen, of iets zeggen over de kans op een bepaald verschijnsel. Bepaalde vormen komen bijvoorbeeld bijna niet voor. Ter vergelijking: als je gekookte spaghetti op je bord schept, liggen de sliertjes nooit parallel naast elkaar. Er is geen wet die het verbiedt; het komt gewoon nooit voor omdat de kans dat het gebeurt zo verschrikkelijk klein is.'
Den Hollander: 'Wiskunde gaat echter niet alleen over hoe het is, maar ook over waarom het zo is. Je wilt de wiskundige structuur van het geval begrijpen. Doet het deeltje in drie dimensies hetzelfde als een polymeer in 203 dimensies? En zo ja, is dat zo omdat de reden waarom ze zich zo gedragen hetzelfde is? Als dat zo is, dan heb ik echt wat begrepen.'

Toeval en de tosmachine

Het opgooien van een muntje geldt als het ultieme toelaten van het toeval. Kop of munt, fifty-fifty, onvoorspelbaar. Is het dat ook echt? De Amerikaanse wiskundige en ex-goochelaar Persi Diaconis bouwde ooit een machine om muntjes op te gooien. Altijd precies evenveel kracht, altijd precies onder dezelfde hoek. De uitkomst, ontdekte hij, liet zich vrij nauwkeurig voorspellen.
Dat geeft te denken over het gebruik van random walks in bijvoorbeeld de epidemiologie. De verspreiding van een ziekte is niet echt willekeurig, maar afhankelijk van heel veel factoren. Pietje die nèt op dat moment naar de wc ging, de ventilator die aanstond en de spuugdeeltjes over de zaal verspreidde, enzovoort. Als je al die factoren kent, kun je net als Diaconis met zijn muntenmachine betere uitspraken doen dan alleen kansberekening.
'De vraag wat toeval is, raakt aan de essentie van mijn vak', aldus hoogleraar kansberekening Frank den Hollander. 'Het woord "toeval" is vaak synoniem met "complex." Er zijn dingen waarvan we denken dat het echt honderd procent toeval is: verschijnselen op quantumschaal, radio-actief verval. De vraag of het volgende maand op dit uur regent, is niet op die manier toevallig, maar afhankelijk van heel erg veel factoren. Je zou het wel uit kunnen rekenen, maar dat is niet haalbaar. De benodigde rekenkracht is zelfs niet bij benadering beschikbaar. Dus zeggen we: laten we het maar beschouwen als toeval. Als je het vervolgens als zodanig benadert, komt er toch hetzelfde uit.'
Een deeltje dat een Brownse beweging maakt, doet dat omdat het botst met onvoorstelbare hoeveelheden watermoleculen. Die ken je niet allemaal en al zou je ze kennen, dan zou je supercomputer erop vastlopen. Den Hollander: 'In de fysica denken we over materie als willekeurig. Je doet net alsof je de munt toevallig opgooit; want dan kan je iets heel complex met een model beschrijven. Het toeval blijkt een fantastische benadering.'

Deel dit bericht:

Voorpagina

Achtergrond

Lezend de crisis uit

Gastschrijver Willem Jan Otten denkt niet dat hij iemand het vak van schrijver kan leren. …

Wetenschap

Studentenleven

Rubrieken